Blog Koma - Salah satu penerapan atau penggunaan turunan dalam matematika adalah menentukan gradien garis singgung pada suatu kurva pada titik tertentu. Pada artikel kali ini kita akan mempelajari Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan. Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan, sebaiknya juga baca materi "definisi turunan" , "turunan fungsi aljabar" dan "turunan fungsi trigonometri". Menentukan Gradien garis singgung Perhatikan gambar berikut Titik P$x, y$ adalah sembarang titik pada kurva $y = fx $, sehingga koordinat titik P dapat dituliskan sebagai $x, fx$. Absis titik Q adalah $x + h$ sehingga koordinat titik Q adalah {$x + h, fx + h$}. Jika h $\rightarrow $ 0, maka S akan menjadi garis singgung pada kurva di titik P yaitu PS. Dengan demikian gradien garis singgung pada kurva di titik P adalah sebagai berikut. $ \begin{align} m & = \tan QPR \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = f^\prime x \end{align} $ Artinya gradien garis singgung di titik A$a,fa$ adalah $ m = f^\prime a $ . Langkah-langkah menentukan gradien di titik A$a,fa$ pada kurva $ y = fx \, $ i. Tentukan turunan fungsinya $f^\prime x$ ii. Substitusi nilai $ x = a \, $ atau absis titik A$a,fa$ iii. Gradiennya $m$ adalah $ m = f^\prime a $ Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva Secara umum persamaan garis di titik A$x_1, y_1$ pada kurva $ y = fx \, $ dapat ditentukan dengan rumus Persamaan garis lurus $ y - y_1 = mx-x_1 \, $ dengan gradiennya $ m = f^\prime x_1 $ . Untuk lebih lengkap tentang persamaan garis lurus, silahkan baca materi "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus". Contoh 1. Tentukan persamaan garis singgung di titik 2,6 pada kurva $ y = x^3 -3x + 4 $ ? Penyelesaian *. Menentukan turunan fungsinya $ y = x^3 -3x + 4 \rightarrow f^\prime x = 3x^2 - 3 $ *. Menentukan gradien di titik 2,6 $ m = f^\prime 2 \rightarrow m = - 3 = 9 $ *. Menyusun persamaan garis singgung PGS di titik 2,6 dan $ m = 9 $ $ \begin{align} y-y_1 & = m x -x_1 \\ y-6 & = 9 x -2 \\ y-6 & = 9x - 18 \\ y & = 9x - 12 \end{align} $ Jadi, PGS nya adalah $ y = 9x - 12 $ . *. Secara geometri seperti gambar berikut 2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 - x + 2 \, $ di titik dengan absis 1, dan tentukan titik potong garis singgungnya terhadap sumbu X dan Sumbu Y ? Penyelesaian *. Menentukan titik singgung $x_1,y_1$ dengan substitusi absis $ x = 1 $ ke persamaan kurvanya, $ x = 1 \rightarrow y = x^2 - x + 2 = 1^2 - 1 + 2 = 2 $ Sehingga titik singgungnya $x_1,y_1 = 1,2 $ *. Menentukan turunan fungsi, $ y = x^2 - x + 2 \rightarrow f^\prime x = 2x - 1 $ *. Menentukan gradiennya di titik 1,2 $ m = f^\prime 1 \rightarrow m = - 1 = 1 $ *. Menyusun persamaan garis singgung PGS di titik 1,2 dan $ m = 1 $ $ \begin{align} y-y_1 & = m x -x_1 \\ y-2 & = 1 x -1 \\ y-2 & = x - 1 \\ y & = x + 1 \end{align} $ Jadi, PGS nya adalah $ y = x + 1 $ . *. Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $ $ y = 0 \rightarrow y = x + 1 \rightarrow 0 = x + 1 \rightarrow x = -1 $ . Sehingga titik potong sumbu X di titik $-1,0$. Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ $ x = 0 \rightarrow y = x + 1 \rightarrow y = 0 + 1 \rightarrow y = 1 $ . Sehingga titik potong sumbu Y di titik $0,1$. 3. Garis $ y = x + 1 $ memotong parabola $ y = x^2 + 2x + 1 $ di titik A dan B. Tentukan persamaan garis singgung parabola itu di titik A dan B. Jika titik potong kedua garis singgung adalah $a,b$, maka nilai $ a + b = .... $ ? Penyelesaian *. Menentukan titik potong kedua kedua persamaan yaitu titik A dan B $ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 2x + 1 & = x + 1 \\ x^2 + x & = 0 \\ xx+1 & = 0 \\ x = 0 \vee x & = -1 \end{align} $ Substitusi $ x = 0 \, $ dan $ x = -1 \, $ ke salah satu persamaan untuk $ x = 0 \rightarrow y = x+1 = 0 + 1 = 1 $ Sehingga titik potong pertamanya A0,1, untuk $ x = -1 \rightarrow y = x+1 = -1 + 1 = 0 $ Sehingga titik potong keduanya B$ -1,0$, Diperoleh titik potongnya di A0,1 dan B$ -1,0$ *. Menentukan persamaan garis singgung di titik A dan B pada parabola, Turunan fungsi $ y = x^2 + 2x + 1 \rightarrow f^\prime x = 2x + 2 $ Titik A0,1, gradien $ m = f^\prime 0 = + 2 = 2 $ PGS $ y - y_1 = mx-x_2 \rightarrow y - 1 = 2x - 0 \rightarrow y = 2x + 1 $ Titik B$ -1,0$, gradien $ m = f^\prime -1 = 2.-1 + 2 = 0 $ PGS $ y - y_1 = mx-x_2 \rightarrow y - 0 = 0x - -1 \rightarrow y = 0 $ Diperoleh persamaan garis singgung di titik A adalah $ y = 2x + 1 \, $ dan di titik B adalah $ y = 0 $ . *. Menentukan titik potong kedua garis singgung garis singgungnya $ y = 0 \, $ dan $ y = 2x + 1 $ substitusi persi ke persii $ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = 2x + 1 \\ 0 & = 2x + 1 \\ 2x &= -1 \\ x & = - \frac{1}{2} \\ \end{align} $ Diperoleh titik potong kedua garis singgungnya $ - \frac{1}{2} , 0 $ , pada soal juga dikatakan titik potong kedua garis singgung adalah $a,b$ , aritnya $ a,b = - \frac{1}{2} , 0 \, $ Sehingga nilai $ a + b = - \frac{1}{2} + 0 = - \frac{1}{2} $ Jadi, nilai $ a + b = - \frac{1}{2} $ Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva jika diketahi gradiennya Dalam menyusun persamaan garis singgung pada kurva, yang kita butuhkan adalah titik singgung dan gradiennya. Jika diketahui gradiennya, maka kita tinggal mencari titik singgungnya dengan menggunakan hubungan $ m = f^\prime x $ . Gradien yang diketahui terkadang harus kita cari dulu karena biasanya ada kaitannya dengan garis lain yaitu sejajar atau tegak lurus. Silahkan baca materi "hubungan dua garis" untuk lebih jelasnya. Dua garis sejajar maka gradiennya sama $m_1 = m_2$ Dua garis tegak lurus berlaku $ m_1 . m_2 = -1 $ . Contoh 4. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 - 2x + 3 \, $ dengan gradien 2. Penyelesaian *. Menentukan turunan, $ y = x^2 - 2x + 3 \rightarrow f^\prime x = 2x - 2 $ . *. Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = 2 $ $ m = f^\prime x \rightarrow 2 = 2x-2 \rightarrow x = 2 $ Substitusi $ x = 2 \, $ ke parabola, $ x = 2 \rightarrow y = x^2 - 2x + 3 = 2^2 - + 3 = 3 $ Sehingga titik singgungnya $ x_1,y_1 = 2,3 $ *. Menentukan persamaan garis singgungnya di titik 2,3 dan $ m = 2 $ $ \begin{align} y-y_1 & = m x -x_1 \\ y-3 & = 2 x -2 \\ y-3 & = 2x - 4 \\ y & = 2x - 1 \end{align} $ Jadi, PGS nya adalah $ y = 2x - 1 $ . 5. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 + x -1 \, $ yang sejajar dengan garis $ y = 7x + 4 $ ? Penyelesaian *. Gradien garis $ y = 7x + 4 \, $ adalah $ m_1 = 7 $ Karena garis singgung sejajar dengan garis $ y = 7x + 4 \, $ , maka gradiennya sama, sehingga $ m = m_1 = 7 $ artinya gradien garis singgunya adalah 7. *. Menentukan turunan, $ y = x^2 + x -1 \rightarrow f^\prime x = 2x + 1 $ . *. Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = 7 $ $ m = f^\prime x \rightarrow 7 = 2x + 1 \rightarrow x = 3 $ Substitusi $ x = 3 \, $ ke parabola, $ x = 3 \rightarrow y = x^2 + x -1 = 3^2 + 3 -1 = 11 $ Sehingga titik singgungnya $ x_1,y_1 = 3,11 $ *. Menentukan persamaan garis singgungnya di titik 3,11 dan $ m = 7 $ $ \begin{align} y-y_1 & = m x -x_1 \\ y-11 & = 7 x -3 \\ y-11 & = 7x - 21 \\ y & = 7x - 10 \end{align} $ Jadi, PGS nya adalah $ y = 7x - 10 $ . 6. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = \sqrt{x-3} \, $ yang tegak lurus dengan garis $ 6x + 3y - 4 = 0 $ ? Penyelesaian *. Gradien garis $ 6x + 3y - 4 = 0 \, $ $ 6x + 3y - 4 = 0 \rightarrow 3y = -6x + 4 \rightarrow y = -2x + \frac{4}{3} $ gradiennya adalah $ m_1 = -2 $ Karena garis singgung tegak lurus dengan garis $ 6x + 3y - 4 = 0 \, $ , maka berlaku $ m . m_1 = -1 \rightarrow m . -2 = -1 \rightarrow m = \frac{1}{2} $ artinya gradien garis singgunya adalah $ \frac{1}{2} $ . *. Menentukan turunan, $ y = \sqrt{x-3} \rightarrow f^\prime x = \frac{1}{2\sqrt{x-3}} $ . *. Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = \frac{1}{2} $ $ \begin{align} m & = f^\prime x \\ \frac{1}{2} & = \frac{1}{2\sqrt{x-3}} \\ 2\sqrt{x-3} & = 2 \\ \sqrt{x-3} & = 1 \, \, \, \, \, \text{kuadratkan} \\ \sqrt{x-3}^2 & = 1^2 \\ x - 3 & = 1 \\ x & = 4 \end{align} $ Substitusi $ x = 4 \, $ ke persamaan kurva, $ x = 4 \rightarrow y = \sqrt{x-3} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1 $ Sehingga titik singgungnya $ x_1,y_1 = 4,1 $ *. Menentukan persamaan garis singgungnya di titik 4,1 dan $ m = \frac{1}{2} $ $ \begin{align} y-y_1 & = m x -x_1 \\ y-1 & = \frac{1}{2}x -4 \, \, \, \, \, \text{kali 2} \\ 2y-2 & = x-4 \\ 2y & = x - 2 \\ x - 2y & = 2 \end{align} $ Jadi, PGS nya adalah $ x - 2y = 2 $ .

PersamaanGaris Singgung Fungsi Trigonometri 3 November 2021 Ika Desi B 19. Misalkan diketahui fungsi f dan sebuah garis menyinggung grafik fungsi f di titik x = a. Koordinat titik singgungnya adalah (a, f(a)). Kemiringan atau gradien [Baca Selengkapnya] Selang Kecekungan Fungsi Trigonometri

Persamaan Garis Singgung – Halo sobat kembali lagi bersama kami yang dimana pada kali ini kami akan membahas tentang pelajaran Matematika yang bertemakan Persamaan Garis Singgung untuk lebih jelas dan lengkapnya maka simaklah penjelasan yang ada dibawah ini. Sebelum kita masuk pada latihan soal, terlebih dulu kita bisa memahami beberapa konsep yang sangat penting, seperti dari mencari gradien, sifat-sifat dari gradien serta rumus didalam mencari sebuah persamaan garis singgung. Sesudah itu baru bisa dilanjutkan dengan sekumpulan soal soal persamaan garis singgung dikurva. Mencari Nilai Gradien GarisPersamaan Garis Singgung KurvaContoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva Share thisRelated posts Mencari Nilai Gradien Garis Gradien garis yang disimbolkan dengan huruf “m” bisa dicari nilainya yang berdasarkan dari persamaan garisnya, yang dimana Apabila persamaan y yaitu y= ax + b ⇒ m = a Apabila persamaan ax+by=c ⇒ m = – a b Apabila melalui dua titik, contohnya saja x1,y1 dan x2,y2 ⇒ m = y2 – y1 x1 – x2 Apabila membentuk sebuah sudut α kepada sumbu-x positif ⇒ m = tan α Apabila ada kurva y = fx yang disinggung oleh suatu garis pada titik x1,y1 ⇒ m = f'x1 Bagi gradien dari dua garis lurus, berlaku sebuah ketentuan Apabila saling sejajar jadinya m1 = m2 Apabila saling tegak lurus jadinya m1 . m2 = -1 ataupun m1 = -1 m2 Persamaan dari garis singgung pada kurva y = fx yang sudah disinggung oleh suatu garis pada titik x1,y1, jadi gradien pada garis singgung itu yakni m = f'x1. Sementara itu juga x1 serta y1 mempunyai hubungan y1 = fx1. Sehingganya persamaan pada garis singgungnya dapat dinyatakan dengan rumus y – y1 = mx – x1. Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva Soal Nomer 1 Tentukanlah persamaan pada garis singgung bagi kurva y = x2 + 3x pada titik 1,3 Pembahasan fx = x2 + 3x f'x = 3x + 2 m = f 1 = 31 + 2 = 5 m = 5 Jadi, persamaan dari garis singgungnya ialah y – y1 = mx – x1 y − 3 = 5x − 1 y − 3 = 5x − 5 y = 5x − 2 Soal Nomer 2 Tentukanlah Persamaan dari garis singgung pada kurva y = 3x3 – 3x2 pada titik berabsis 2 Pembahasan Absis itu ialah sumbu -x, jadi x =2 Langkah ke-1 Cari lah titik singgung dengan cara memasukkan nilai x = 2 y = 3x3 – 2x2 y = 323 − 322 y = 24 – 12 y = 12 Jadi titik singgung 2, 12 Langkah ke- 2 Cari nilai dari gradien fx = 3x3 – 3x2 f x = 9x2 – 6x m = f 2 = 922 − 62 m = 36 – 12 m = 24 Jadi, persamaan dari garis singgungnya ialah y – y1 = mx – x1 y − 12 = 24x − 2 y = 24x – 36 Soal Nomer 3 Tentukanlah persamaan pada garis singgung pada kurva y = 2 + 3x – x2 sejajar dengan garis 2x + y = 3 Pembahasan Langkah ke-1 Cari nilai dari m1 y = 2 + 3x – x2 m1 = f'x = -3x + 2 m1 = -3x + 2 Langkahke-2 Carilah nilai dari m2 2x + y = 3 y = -2x + 3 m2 = -2 Ingat !! Apabila y = ax + b ⇒ m = a Langkah ke-3 Cari nilai dari x Dikarenakan kedua garisnya saling sejajar maka berlakunya m1 = m2 -3x + 2 = -2 -3x = -4 x = 1,3 Langkah ke-4 Cari nilai dari y yang memasukkan nilai dari x = 1,3 y = 2 + 3x – x2 y = 2 + 21,3 – 1,32 y = 2 + 2,6 – y = Sekarang kita sudah mempunyai titik singgung Langkah ke-4 Persamaan dari garis singgung y – y1 = mx – x1 y – = -2x – y = -2x + Soal Nomer 4 Carilah sebuah persamaan dari garis singgung di kurva y = x2 – x + 3 pada titik yang berordinat pada 5 ? Pembahasan Ordinat itu yakni sumbu -y, jadinya nilai y = 5 Langkah ke-1 Cari titik pada singgung dengan cara memasukkan nilai y yakni 5 y = x2 – x + 3 5 = x2 – x + 3 x2 – x + 3 – 5 = 0 x2 – x – 2 = 0 x – 2x + 1 = 0 x = 2 atau x = -1 Jadi ada dua titik singgung yakni 2,5 ataupun -1,5 Langkah ke-2 Carilah nilai dari gradien Nilai gradien bagi x = 2 fx = x2 – x + 3 f'x = 2x – 1 m = f'2 = 22 – 1 m = 3 Nilai gradien bagi nilai x = -1 fx = x2 – x + 3 f'x = 2x – 1 m = f'-1 = 2-1 – 1 m = -3 Langkah ke-3 Menentukan sebuah persamaan pada garis singgung Dikarenakan kita mempunyai dua titik singgung, yang tentunya akan terdapat dua persamaan pada garis singgung Persamaan dari garis singgungnya bagi titik 2,5 dan m = 3 y – y1 = mx – x1 y – 5 = 3x – 2 y = 3x – 6 + 5 y = 3x – 1 Persamaan dari garis singgungnya bagi titik -1,5 dan m = -3 y – y1 = mx – x1 y – 5 = -3x – -1 y – 5 = -3x – 3 y = -3x + 2 Jadi, terdapat dua persamaan garis singgung, yakni y = 3x – 1 ataupun y = -3x + 2 Soal Nomer 5 Tentukanlah persamaan dari garis singgung pada kurva y = x3 – 3x2 – 5x + 10 apabila gradien garis singgungnya yakni 4 ? Pembahasan Langkah ke-1 Carilah titik singgung pada fx = x3 – 3x2 – 5x + 10 f'x = 3x2 – 6x – 5 m = f'x 4 = 3x2 – 6x – 5 3x2 – 6x – 9 = 0 lalu bagi dengan 3 x2 – 2x – 3 = 0 x – 3x + 2 = 0 x = 3 ataupun x = -2 Bagi x = 3 y = x3 – 3x2 – 5x + 10 y = 33 – 332 – 53 + 10 y = 27 -27 – 15 + 10 y = -5 Jadi Titik singgung yang pertama 3,-5 Bagi x = -2 y = x3 – 3x2 – 5x + 10 y = -23 – 3-22 – 5-2 + 10 y = -8 – 12 + 10 + 10 y = 0 Titik singgung yang kedua -2,0 Langkah ke-2 Menentukan sebuah persamaan dari garis singgung bagi titik singgung yang pertama 3,-5 y – y1 = mx – x1 y – -5 = 4x – 3 y + 5 = 4x -12 y = 4x -17 Bagi titik singgung yang kedua -2,0 y – y1 = mx – x1 y – 0 = 4x – -2 y = 4x + 8 Jadi terdapat dua persamaan garis singgung yakni y = 4x -17 dan y = 4x + 8 Soal Nomer 6 Tentukanlah sebuah persamaan pada garis singgung di kurva y = 3 – x2 secara tegak lurus kepada garis 4y = x + 1 ? Pembahasan Langkah ke-1 Cari lah nilai m1 y = 3 – x2 m1 = f'x = -2x m1 = -2x Langkah ke-2 Cari lah nilai m2 4y = x + 1 y = 1 4 x + 1 4 m2 = 1 4 Ingat ya!! Apabila y = ax + b ⇒ m = a Langkah ke-3 Cari lah nilai x Dikarenakan kedua garis yang tegak lurus maka berlakunya m1 . m2 = -1 m1 . 1 4 = -1 m1 = -4 Masukkan lah nilai m1 didalam persamaan pada langkah ke-1 m1 = -2x -4 = -2x x = 2 Langkah ke-4 Carilah nilai y dengan cara memasukkan nilai yakni x = 2 y = 3 – x2 y = 3 – 22 y = 3 – 4 y = -1 Jadi, titik singgungnya yakni 2,-1 Langkah ke-5 Menentukan sebuah persamaan pada garis singgung y – y1 = mx – x1 y – -1 = -4x – 2 y + 1 = -4x + 8 y = -4x + 7 Jadi, persamaan pada garis singgungnya yaitu y = -4x + 7 Soal Nomer 7 Tentukanlah Sebuah Persamaan garis singgungnya pada kurva y = 2x – 3x2 pada titik menggunakan absis 2 Pembahasan Absis itu merupakan sumbu-x, jadinya x =2 Langkah ke-1 Cari lah titik singgung dengan cara memasukkan nilai x = 2 y = 2x – 3x2 y = 22 − 322 y = −8 Jadinya titik singgung 2, −8 Langkah ke-2 Carilah nilai gradien fx = 2x − 3x2 f x = 2 − 6x m = f 2 = 2 − 62 = −10 m = −10 Jadinya, persamaan pada garis singgungnya ialah y – y1 = mx – x1 y − −8 = −10x − 2 y + 8 = −10x + 20 y = −10x + 12 Soal Nomer 8 Tentukanlah Sebuah Persamaan pada garis singgung pada kurva y = x2 pada titik berabsis yakni -2 PembahasanAbsis itu ialah pada sumbu-x, jadinya x = -2 Langkah ke-1 Carilah titik singgung dengan cara memasukkannya pada nilai x = -2 y = x2 y = -22 y = 4 Jadinya titik singgung yakni -2, 4 Langkah ke-2 Carilah nilai gradiennya fx = x2 f x = 2x m = f -2 = 2-2 m = -4 Jadinya, persamaan dari garis singgungnya yakni y – y1 = mx – x1 y − 4 = -4x − -2 y – 4 = -4x – 8 y = -4x – 4 Selesai sudah pembahas kali ini tentang Persamaan Garis Singgung semoga dapat membantu kalian semuanya dalam mempelajari pelajaran Matematika dan terimakasih kamu sudah berkunjung dan menyimak artikel ini sampai akhir . Baca Juga Lainnya Soal Cerita Matematika Kelas 3 SDSoal Cerita Matematika Kelas 2 SDSoal Cerita Matematika Kelas 1 SDSoal Matematika Kelas 12Soal Matematika Kelas 11Soal Matematika Kelas 10Soal Matematika Kelas 9

Salah satu aplikasi atau pemanfaatan konsep turunan diferensial dalam matematika adalah untuk menentukan gradien dan persamaan garis singgung dari suatu kurva. Kebermanfaatan konsep tersebut tentunya dalam ranah bidang geometri. Konsep turunan dapat dipakai untuk menentukan gradien garis singgung dikarenakan adanya fakta bahwa nilai turunan suatu fungsi pada titik tertentu adalah gradien garis singgung grafik fungsi di titik tersebut. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan Diferensial Nah, untuk memantapkan pemahaman mengenai ini, kita sajikan soal beserta pembahasannya yang mungkin saja dapat dijadikan referensi untuk belajar. Semoga bermanfaat. Today Quote Emas lebih berharga dari kayu. Namun, saat kita akan tenggelam, kayulah yang menjadi penyelamat. Sederhananya, jangan meremehkan kemampuan orang lain. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Grafik fungsi $fx=x^2-4x+5$ menyinggung garis $g$ di $x = -1$. Gradien garis $g$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-8$ C. $-2$ E. $6$ B. $-6$ D. $4$ Pembahasan Diketahui $fx=x^2-4x+5.$ Turunan pertama dari fungsi $fx$ adalah $f'x = 2x-4.$ Gradien garis singgung $g$ diperoleh saat $x = -1,$ yaitu $m = f'-1 = 2-1-4=-6.$ Jadi, gradien garis $g$ adalah $\boxed{-6}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 2 Garis $k$ menyinggung grafik fungsi $gx=3x^2-x+6$ di titik $B2, 16$. Persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y=2x-16$ B. $y=2x+16$ C. $y=11x-6$ D. $y=11x+6$ E. $y=11x+16$ Pembahasan Diketahui $gx=3x^2-x+6.$ Turunan pertama dari fungsi $gx$ adalah $g'x = 6x-1.$ Karena titik singgungnya di $\color{red}{2}, 16$, gradien garis singgung $k$ diperoleh saat $\color{red}{x = 2},$ yaitu $m = g'2 = 62-1=11.$ Persamaan garis yang bergradien $m = 11$ dan melalui titik $x_1, y_1 = 2, 16$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-16 & = 11x-2 \\ y-16 & = 11x-22 \\ y & = 11x-6 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{y=11x-6}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri Soal Nomor 3 Jika garis $l$ menyinggung kurva dengan persamaan $y=x^3-5x^2+7$ di titik $1,3$, maka persamaan garis $l$ adalah $\cdots \cdot$ A. $10x+y-7=0$ B. $7x+y-10=0$ C. $7x+y-2=0$ D. $5x+y-7=0$ E. $x-y-5=0$ Pembahasan Diketahui $y=x^3-5x^2+7.$ Turunan pertama dari $y$ adalah $y’ = 3x^2-10x.$ Karena titik singgungnya di $\color{red}{1}, 3$, maka gradien garis singgung $l$ diperoleh saat $\color{red}{x = 1}$, yaitu $m = y’_{x=1} = 31^2-101 = -7.$ Persamaan garis yang bergradien $m = -7$ dan melalui titik $x_1, y_1 = 1, 3$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-3 & = -7x-1 \\ y-3 & -7x+7 \\ 7x+y-10 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $l$ adalah $\boxed{7x+y-10=0}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 4 Persamaan garis singgung kurva dengan persamaan $y=x^2+1^2$ di titik dengan absis $x=1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y=8x+10$ B. $y=8x+8$ C. $y=8x+4$ D. $y=8x-4$ E. $y=8x-10$ Pembahasan Diketahui $y=x^2+1^2.$ Titik singgung berabsis $x = 1$ sehingga $y = 1^2+1^2 = 2^2 = 4.$ Jadi, koordinat titik singgung di $1, 4$. Turunan pertama dari $y$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan rantai atau bisa juga dengan dijabarkan lebih dulu, yaitu $y’ = 2x^2+1\underbrace{2x}_{y} = 4xx^2+1.$ Karena titik singgungnya berabsis $x=1$, gradien garis singgungnya diperoleh saat $x = 1$, yaitu $\begin{aligned} m & = y’_{x=1} = 411^2+1 \\& = 42 = 8. \end{aligned}$ Persamaan garis yang bergradien $m = 8$ dan melalui titik $x_1, y_1 = 1, 4$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-4 & = 8x-1 \\ y-4 & = 8x-8 \\ y & = 8x-4. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{y = 8x-4}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Persamaan garis singgung kurva dengan persamaan $y=x^3$ di titik $A$ yang berordinat $8$ adalah $\cdots \cdot$ A. $12x-y+16=0$ B. $x-12y+16=0$ C. $12x-y-16=0$ D. $x-12y-16=0$ E. $12x+y+16=0$ Pembahasan Diketahui $y=x^3.$ Titik singgung berordinat $y = 8$sehingga $8 = x^3 \Leftrightarrow x = 2$. Jadi, koordinat titik singgung di $2, 8.$ Turunan pertama dari $y$ adalah $y’ = 3x^2.$ Karena titik singgungnya $\color{red}{2}, 8,$ maka gradien garis singgungnya diperoleh saat $\color{red}{x = 2}$, yaitu $m = y’_{x=2} = 32^2 = 12.$ Persamaan garis yang bergradien $m = 12$ dan melalui titik $x_1, y_1 = 2, 8$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-8 & = 12x-2 \\ y-8 & = 12x-24 \\ y-12x+16 & = 0 \\ \text{Kalikan}~-1&~\text{di kedua ruas} \\ 12x-y-16 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{12x-y-16=0}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Sistem Koordinat Kartesius Soal Nomor 6 Persamaan garis singgung kurva $y=x^2+2x-1$ di titik yang berordinat $2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $4x+y-3=0$ B. $4x-y-2=0$ C. $3x-y-1=0$ D. $3x-y+1=0$ E. $x-y+1=0$ Pembahasan Diketahui $y=x^2+2x-1.$ Titik singgung berordinat $y = 2$ sehingga $\begin{aligned} x^2+2x-1 & = 2 \\ x^2+2x-3 & = 0 \\ x+3x-1 & = 0. \end{aligned}$ Diperoleh $x = -3$ atau $x=1.$ Jadi, koordinat titik singgung di $-3, 2$ dan $1, 2.$ Kemungkinan 1 TS di $-3, 2.$ Turunan pertama dari $y$ adalah $y’ = 2x+2.$ Karena titik singgungnya $\color{red}{-3}, 2$, gradien garis singgungnya diperoleh saat $\color{red}{x = -3},$ yaitu $m = y’_{x=-3} = 2-3 + 2 = -4.$ Persamaan garis yang bergradien $m = -4$ dan melalui titik $x_1, y_1 = -3, 2$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-2 & = -4x+3 \\ y-2 & = -4x-12 \\ 4x+y+10 & = 0. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x+y+10=0}$ Kemungkinan 2 TS di $1, 2.$ Turunan pertama dari $y$ adalah $y’ = 2x+2.$ Karena titik singgungnya $\color{red}{1}, 2,$ maka gradien garis singgungnya diperoleh saat $\color{red}{x = 1}$, yaitu $m = y’_{x=-3} = 21 + 2 = 4.$ Persamaan garis yang bergradien $m = 4$ dan melalui titik $x_1, y_1 = 1, 2$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-2 & = 4x-1 \\ y-2 & = 4x-4 \\ 4x-y-2 & = 0. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x-y-2=0}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan Dasar Soal Nomor 7 Garis singgung pada parabola $y=x^2+6\dfrac12x+14\dfrac12$ yang sejajar dengan garis $x-2y+3=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-2y-9=0$ B. $x+2y-13=0$ C. $2y+x+12=0$ D. $2y-x-11=0$ E. $2y-x-1=0$ Pembahasan Diketahui $y=x^2+6\dfrac12x+14\dfrac12.$ Turunan pertama dari $y$ adalah $y’ = 2x + 6\dfrac12.$ Garis $x-2y + 3 = 0$ memiliki gradien $m = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{1}{-2} = \dfrac12.$ Substitusi $y’ = \dfrac12$sehingga kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac12 & = 2x + 6\dfrac12 \\ -6 & = 2x \\ x & = -3. \end{aligned}$ Selanjutnya, substitusi $x = -3$ pada $y.$ $\begin{aligned} y & =x^2+6\dfrac12x+14\dfrac12 \\ & = -3^2+6\dfrac12-3 + 14\dfrac12 \\ & = 9-19\dfrac12+14\dfrac12 \\ & = 9-5 = 4 \end{aligned}$ Jadi, titik singgungnya di $-3, 4.$ Persamaan garis yang bergradien $m = \dfrac12$ dan melalui titik $x_1, y_1 = -3, 4$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-4 & = \dfrac12x+3 \\ 2y-8 & = x+3 \\ 2y-x-11 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{2y-x-11=0}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Garis singgung kurva $y=\dfrac13x^3+x^2$ yang tegak lurus dengan garis $x-y+3=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x+y+1=0$ B. $2x+2y+1=0$ C. $3x+3y+1=0$ D. $3x+3y-1=0$ E. $3x+3y-2=0$ Pembahasan Diketahui $y = \dfrac13x^3 + x^2.$ Gradien garis $x-y+3=0$ adalah $m’ = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{1}{-1} = 1.$ Gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah $m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac{1}{1} = -1.$ Nilai turunan pertama dari $y = \dfrac13x^3 + x^2$ pada absis titik singgung adalah gradien garis singgungnya, yaitu $m = -1$. Dengan demikian, kita tuliskan $\begin{aligned} y’ & = x^2 + 2x \\ m = y’_{x = a} & = a^2+2a \\ -1 & = a^2+2a \\ a^2+2a+1 & = 0 \\ a+1^2 & = 0. \end{aligned}$ Diperoleh $a = -1$, artinya absis titik singgungnya adalah $x = -1.$ Sekarang substitusikan $x = -1$ pada $y.$ $\begin{aligned} y & = \dfrac13x^3 + x^2 \\ & = \dfrac13-1^3 + 1^2 \\ & = -\dfrac13 + 1 = \dfrac23 \end{aligned}$ Jadi, titik singgungnya di $\left-1, \dfrac23\right.$ Persamaan garis yang bergradien $m = -1$ dan melalui titik $\left-1, \dfrac23\right$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-\dfrac23 & = -1x+1 \\ y-\dfrac23 & = -x-1 \\ x+y+\dfrac13 & = 0 \\ \text{Kalikan 3}&~\text{di kedua ruas} \\ 3x+3y+1 & = 0. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung tersebut dinyatakan oleh $\boxed{3x+3y+1 = 0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 9 Garis $g$ menyinggung grafik fungsi $fx=-2x^2-x+8$. Jika gradien garis singgung tersebut adalah $m = 7$, maka titik singgung antara grafik fungsi $f$ dan garis $g$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2,2$ D. $2,2$ B. $-2,4$ E. $2,4$ C. $0,2$ Pembahasan Diketahui $fx=-2x^2-x+8.$ Misalkan titik singgungnya di $a, b.$ Substitusi $x = a$ pada $f'x$ untuk mendapatkan gradien garis singgung diketahui di sini bahwa $m = 7$. $\begin{aligned} f'x & = -4x-1 \\ m = f'a & = -4a-1 \\ 7 & = -4a-1 \\ 8 & = -4a \\ a & = -2 \end{aligned}$ Substitusi $x = -2$ pada $fx$. $\begin{aligned} fx & = -2x^2-x+8 \\ f-2 & = -2-2^2-2+8 \\ b & = -24+10 = 2 \end{aligned}$ Jadi, titik singgung antara grafik fungsi $f$ dan garis $g$ adalah $\boxed{-2, 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 10 Diketahui garis singgung parabola $y=4x-x^2$ di titik $A1,3$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^2-6x+p$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$ A. $17$ C. $9$ E. $-17$ B. $15$ D. $-15$ Pembahasan Diketahui $y = 4x-x^2.$ Turunan pertamanya adalah $y’ = 4-2x.$ Gradien garis singgung di $x = 1$ adalah $m= y’_{x=1} = 4-21=2.$ Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = 1, 3$ dan bergradien $m = 2$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-3 & = 2x-1 \\ y & = 2x+1. \end{aligned}$ Garis $y = 2x + 1$ juga menyinggung parabola $y = x^2-6x+p$ sehingga kita tuliskan $\begin{aligned} x^2-6x+p & = 2x+1 \\ x^2-8x+p-1 & = 0. \end{aligned}$ Syarat dua kurva bersinggungan adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut nol. $\begin{aligned} D & = b^2-4ac \\ 0 & = -8^2-41p-1 \\ 0 & = 64-4p+4 \\ 4p & = 68 \\ p & = 17 \end{aligned}$ Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{17}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik Soal Nomor 11 Grafik fungsi $gx=x^3-3x^2+3x-1$ melalui titik $A3,8$. Persamaan garis singgung grafik fungsi $g$ di titik $A$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y=3x-28$ B. $y=3x+38$ C. $y=11x-28$ D. $y=11x-38$ E. $y=11x+38$ Pembahasan Diketahui $gx=x^3-3x^2+3x-1.$ Titik singgung di $3, 8.$ Substitusi $x = 3$ pada $f'x$ untuk mendapatkan gradien garis singgung. $\begin{aligned} f'x & = 3x^2-6x+3 \\ m = f'3 & = 33^2-63+3 \\ m & = 27-18+3 = 12 \end{aligned}$ Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = 3, 8$ dan bergradien $m = 12$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-8 & = 12x-3 \\ y-8 & = 12x-36 \\ y & = 12x-28. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung grafik fungsi $g$ di titik $A$ adalah $\boxed{y=12x-28}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 12 Persamaan garis singgung kurva $fx=\sqrt{2x+3}$ yang tegak lurus garis $3x+y-2=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $9x-3y+14=0$ B. $8x-24y+39=0$ C. $9x-y-6=0$ D. $3x-y-12=0$ E. $x-3y+6=0$ Pembahasan Diketahui $fx = \sqrt{2x+3}.$ Gradien garis $3x+y-2=0$ adalah $m’ = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{3}{1} = -3.$ Gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah $m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13.$ Nilai turunan pertama dari $fx$ pada absis titik singgung adalah gradien garis singgungnya, yaitu $m = \dfrac13$. Dengan demikian, kita tuliskan $$\begin{aligned} fx & = \sqrt{2x+3} = 2x+3^{1/2} \\ f'x & = \dfrac{1}{\cancel{2}}2x+3^{-1/2}\cancel{2} \\ f'x & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+3}} \\ m = f'a & =\dfrac{1}{\sqrt{2a+3}} \\ \dfrac13 & = \dfrac{1}{\sqrt{2a+3}} \\ \sqrt{2a+3} & = 3 \\ 2a+3 & = 9 \\ 2a & = 6 \\ a & = 3. \end{aligned}$$Diperoleh $a = 3$, artinya absis titik singgungnya adalah $x = 3.$ Sekarang substitusikan $x = 3$ pada $fx.$ $\begin{aligned} fx & = \sqrt{2x+3} \\ f3 & = \sqrt{23+3} \\ & = \sqrt9 = 3 \end{aligned}$ Jadi, titik singgungnya di $3, 3.$ Persamaan garis yang bergradien $m = \dfrac13$ dan melalui titik $3,3$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-3 & = \dfrac13x-3 \\ 3y-9 & = x-3 \\ x-3y+6 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung tersebut dinyatakan oleh $\boxed{x-3y+6=0}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 13 Persamaan garis yang melalui titik $A1,1$ dan tegak lurus dengan garis singgung kurva $fx=x^3-3x^2+3$ di titik tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $y+3x-4=0$ B. $y+3x-2=0$ C. $3y-x+2=0$ D. $3y-x-2=0$ E. $3y-x-4=0$ Pembahasan Diketahui $fx=x^3-3x^2+3.$ Titik singgung di $1, 1.$ Substitusi $x = 1$ pada $f'x$ untuk mendapatkan gradien garis singgung. $\begin{aligned} f'x & = 3x^2-6x \\ m’ = f'1 & = 31^2-61 \\ & = 3-6 = -3 \end{aligned}$ Garis yang tegak lurus dengannya memiliki gradien $m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13.$ Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = 1,1$ dan bergradien $m = \dfrac13$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-1 & = \dfrac13x-1 \\ 3y-3 & = x-1 \\ 3y-x-2 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis tersebut dinyatakan oleh $\boxed{3y-x-2=0}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 14 Garis $\ell$ tegak lurus garis $g$ dan melalui titik $A3,1.$ Garis $g$ menyinggung kurva $fx=2x^2-6x+4$ di titik $B1,0.$ Persamaan garis $\ell$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x+y=1$ B. $x+2y=1$ C. $2x-y=1$ D. $x-2y=1$ E. $2y-x=1$ Pembahasan Diketahui $fx=2x^2-6x+4.$ Titik singgung di $1, 0.$ Substitusi $x = 1$ pada $f'x$ untuk mendapatkan gradien garis singgung. $\begin{aligned} f'x & = 4x-6 \\ m’ = f'1 & = 41-6 = -2 \end{aligned}$ Garis yang tegak lurus dengannya memiliki gradien $m = -\dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{2}.$ Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = 3,1$ dan bergradien $m = \dfrac12$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-1 & = \dfrac12x-3 \\ 2y-2 & = x-3 \\ x-2y & = 1. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $\ell$ dinyatakan oleh $\boxed{x-2y=1}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun Soal Nomor 15 Persamaan garis normal kurva $fx=3x^3-3x+2$ di $x=1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-6y=13$ B. $x+6y=13$ C. $y-6x=13$ D. $6y-x=13$ E. $6x+y=13$ Pembahasan Diketahui $fx=3x^3-3x+2.$ Substitusi $x = 1$ untuk mencari ordinat titik singgungnya. $\begin{aligned} f1 & = 31^3-31+2 \\ & = 3-3+2 = 2 \end{aligned}$ Jadi, titik singgungnya di $1, 2.$ Nilai turunan $fx$ di $x = 1$ adalah gradien garis singgungnya. $\begin{aligned} f'x & = 33x^2-3 \\ & = 9x^2-3 \\ m’ = f'1 & = 91^2-3 = 6 \end{aligned}$ Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung sehingga gradiennya adalah $m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac16.$ Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = 1, 2$ dan bergradien $m = -\dfrac16$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-2 & = -\dfrac16x-1 \\ 6y-2 & = -x-1 \\ 6y-12 & = -x+1 \\ x+6y & = 13. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $\boxed{x+6y=13}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 16 Persamaan garis normal kurva $fx=-2x^3+6x^2$ di titik $P$ adalah $6y+x=25.$ Koordinat titik $P$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-1,2$ D. $1,4$ B. $-1,4$ E. $2,1$ C. $1,2$ Pembahasan Diketahui $fx=-2x^3+6x^2.$ Gradien garis normal $6y+x=25$ adalah $m’ = -\dfrac{\text{Koef}.x}{\text{Koef}.y} = -\dfrac{1}{6}.$ Garis singgung adalah garis yang tegak lurus garis normalsehingga gradien garis singgung adalah $m = -\dfrac{1}{m’} = 6.$ Misalkan titik singgung di $Pa, b.$ Substitusi $x = a$ pada $f'x$ untuk mendapatkan gradien garis singgung diketahui di sini bahwa $m = 6$. $\begin{aligned} fx & = -2x^3+6x^2 \\ f'x & = -6x^2+12x \\ m = f'a & = -6a^2+12a \\ 6 & = -6a^2+12a \\ 6a^2-12a+6 & = 0 \\ \text{Kedua ruas dibagi}~&6 \\ a^2-2a+1 & = 0 \\ a-1^2 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $a = 1.$ Substitusi $x = 1$ pada $fx.$ $\begin{aligned} fx & = -2x^3+6x^2 \\ f1 & = -21^3 + 61^2 \\ b & = -2+6 = 4 \end{aligned}$ Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{1, 4}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 17 Persamaan garis singgung pada kurva $y = \tan x$ di titik $\left\dfrac{\pi}{4}, 1\right$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y = 2x + \left1+\dfrac{\pi}{2}\right$ B. $y = 2x + \left\dfrac{\pi}{2}-1\right$ C. $y = 2x + \left1-\dfrac{\pi}{2}\right$ D. $y = 2x + 2-\pi$ E. $y = 2x + 2+\pi$ Pembahasan Diketahui $y = \tan x$ dan titik singgungnya $\left\dfrac{\pi}{4}, 1\right.$ Pertama, akan dicari turunan dari $y$, yaitu $y’ = \sec^2 x.$ Substitusi $x = \dfrac{\pi}{4}$ pada $y’$ sehingga kita peroleh gradien garis singgungnya, yakni $m = \sec^2 \dfrac{\pi}{4} = \sqrt2^2 = 2.$ Persamaan garis singgung yang melalui titik $x_1, y_1 = \left\dfrac{\pi}{4}, 1\right$ dan bergradien $m = 2$ adalah $\begin{aligned} y & = mx-x_1+y_1 \\ & = 2\leftx-\dfrac{\pi}{4}\right+1 \\ & = 2x-\dfrac{\pi}{2}+1 \\ & = 2x + \left1-\dfrac{\pi}{2}\right. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah $\boxed{y = 2x + \left1-\dfrac{\pi}{2}\right}$ Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 18 Persamaan garis singgung yang melalui kurva $y = \sin x + \cos x$ di titik yang berabsis $\dfrac{\pi}{2}$ akan memotong sumbu-$Y$ dengan ordinatnya adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac{\pi}{2} + 1$ D. $\dfrac{\pi}{2}$ B. $-\dfrac{\pi}{2}$ E. $\dfrac{\pi}{2} + 1$ C. $-\dfrac{\pi}{2}- 1$ Pembahasan Diketahui $y = \sin x + \cos x.$ Substitusi $x = \dfrac{\pi}{2}$ untuk memperoleh $y = \sin \dfrac{\pi}{2} + \cos \dfrac{\pi}{2}= 1 + 0 = 1.$ Titik singgungnya di $\left\dfrac{\pi}{2}, 1\right.$ Turunan dari $y$ adalah $y’ = \cos x-\sin x.$ Gradien garis singgung $m$ adalah nilai $y’$ saat $x = \dfrac{\pi}{2}$, yakni $\begin{aligned} y’ = m & = \cos \dfrac{\pi}{2}-\sin \dfrac{\pi}{2} \\ & = 0-1 = -1. \end{aligned}$ Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = \left\dfrac{\pi}{2}, 1\right$ dan bergradien $m = -1$ adalah $\boxed{\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-1 & = -1\leftx-\dfrac{\pi}{2}\right \\ y & = -x + \dfrac{\pi}{2} + 1. \end{aligned}}$ Garis ini memotong sumbu-$Y$ saat nilai $x = 0$ sehingga didapat $\boxed{y = 0 + \dfrac{\pi}{2} + 1 = \dfrac{\pi}{2} + 1}$ Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut. Jawaban E [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Carilah gradien garis singgung pada kurva dengan persamaan $y = 3x^3-6x^2+8x+10$ pada $x=2.$ Pembahasan Gradien garis singgung pada kurva dengan persamaan $y = 3x^3-6x^2+8x+10$ pada $x=2$ adalah $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}_{x = 2}.$ Turunan pertama diberikan oleh $$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = 9x^2-12x+8$$Dengan demikian, $\begin{aligned} m & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}_{x = 2} \\ & = 92^2-122+8 \\ & = 36-24+8 = 20. \end{aligned}$ Jadi, gradien garis singgungnya adalah $\boxed{20}$ [collapse] Soal Nomor 2 Grafik fungsi $fx=-x^3+3x^2-4x+5$ melalui titik $A3,-7$. Tentukan persamaan garis singgung grafik fungsi $f$ di titik $A$. Pembahasan Diketahui $fx=-x^3+3x^2-$ $4x+5.$ Titik singgung di $3, -7.$ Substitusi $x = 3$ pada $f'x$ untuk memperoleh gradien garis singgungnya. $\begin{aligned} f'x & = -3x^2+6x-4 \\ m = f'3 & = -33^2 + 63-4 \\ & = -27+18-4 = -13 \end{aligned}$ Persamaan garis yang melalui $x_1, y_1 = 3, -7$ dan bergradien $m = -13$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-7 & = -13x-3 \\ y+7 & = -13x+39 \\ y & = -13x+32. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{y=-13x+32}$ [collapse] Baca Juga Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Soal Nomor 3 Titik $P2,4$ terletak pada kurva $fx=ax^2+bx+2.$ Jika garis singgung kurva di titik $P$ sejajar dengan garis $y = 5x-6,$ tentukan nilai $a$ dan $b.$ Pembahasan Diketahui $fx=ax^2+bx+2$ dan $P2, 4$ terletak pada kurva $fx.$ Substitusi $x = 2$ pada $fx$. $\begin{aligned} f2 & = a2^2+b2+2 \\ 4 & = 4a+2b+2 \\ 2 & = 4a+2b \\ 1 & = 2a+b && \cdots 1 \end{aligned}$ Gradien garis $y = 5x-6$ adalah $m’ = 5$. Karena sejajar dengan garis singgung, gradien garis singgungnya adalah $m = m’ = 5.$ Substitusi $x = 2$ pada $f'x$ untuk memperoleh gradien garis singgung. $\begin{aligned} fx & = ax^2+bx+2 \\ f'x & = 2ax + b \\ m = f'2 & = 2a2 + b \\ 5 & = 4a + b && \cdots 2 \end{aligned}$ Dari persamaan $1$ dan $2$, diperoleh $\boxed{a = 2}$ dan $\boxed{b = -3}$ [collapse] Soal Nomor 4 Titik $A1, a+2$ terletak pada kurva $fx=ax^2-a+1x+6.$ Tentukan persamaan garis normal kurva di titik $A$. Pembahasan Diketahui $fx=ax^2-a+1x+6$ dan titik $A1, a+2$ terletak pada kurva $fx.$ Substitusi $x = 1$ pada $fx$. $\begin{aligned} f1 & = a1^2-a+11 + 6 \\ a+2 & = a-a+1+6 \\ a+2 & = 5 \\ a & = 3 \end{aligned}$ Dengan demikian, $fx = 3x^2-4x +6$ dan $A1, 5.$ Substitusi $x = 1$ pada $f'x$ untuk mendapatkan gradien garis singgung di $A$. $\begin{aligned} f'x & = 6x-4 \\ m’ = f'1 & = 61-4 \\ m’ & = 2 \end{aligned}$ Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung sehingga gradiennya adalah $m = -\dfrac{1}{m’} = -\dfrac12.$ Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = 1, 5$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-5 & = -\dfrac12x-1 \\ 2y-10 & = -x+1 \\ x+2y & = 11. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis normal di titik $A$ adalah $\boxed{x+2y=11}$ [collapse] Soal Nomor 5 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva fungsi trigonometri di bawah ini di titik yang diberikan. $fx = \sin x$ di titik dengan absis $x = \dfrac{\pi}{6}.$ $fx = \cot x-2 \csc x$ di titik dengan absis $x = \dfrac{\pi}{3}.$ Pembahasan Jawaban a Untuk $x = \dfrac{\pi}{6},$ diperoleh $f\left\dfrac{\pi}{6}\right = \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac12.$ Titik singgung di $\left\dfrac{\pi}{6}, \dfrac12\right.$ Turunan pertama fungsi $fx= \sin x$ adalah $f'x = \cos x.$ Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x = \dfrac{\pi}{6}$, yaitu $m = f’\left\dfrac{\pi}{6}\right = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac12\sqrt3.$ Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik $x_1, y_1 = \left\dfrac{\pi}{6}, \dfrac12\right$ dan bergradien $m = \dfrac12\sqrt3$ adalah $\begin{aligned} y & = mx-x_1+y_1 \\ y & = \dfrac12\sqrt3\leftx-\dfrac{\pi}{6}\right + \dfrac12 \\ 2y & = \sqrt3\leftx-\dfrac{\pi}{6}\right +1 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgungnya dinyatakan oleh $\boxed{2y = \sqrt3\leftx-\dfrac{\pi}{6}\right +1}$ Jawaban b Untuk $x = \dfrac{\pi}{3}$, diperoleh $\begin{aligned} f\left\dfrac{\pi}{3}\right & = \cot \dfrac{\pi}{3}-2 csc \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac{\sqrt3}{3}-2 \cdot \dfrac23\sqrt3 \\ & = 1-4\dfrac{\sqrt3}{3} = -\sqrt3 \end{aligned}$ Titik singgung di $\left\dfrac{\pi}{3}, -\sqrt3\right.$ Turunan pertama fungsi $fx= \cot x-2 \csc x$ adalah $\begin{aligned}vf'x & = -\csc^2 x-2-\csc x \cot x \\ & = 2 \csc x \cot x-\csc^2 x \end{aligned}$ Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x = \dfrac{\pi}{3}$, yaitu $\begin{aligned} m & = f’\left\dfrac{\pi}{3}\right \\ & = 2 \csc \dfrac{\pi}{3} \cot \dfrac{\pi}{3} -\csc^2 \dfrac{\pi}{3} \\ & = 2 \cdot \dfrac23\sqrt3 \cdot \dfrac13\sqrt3-\left\dfrac23\sqrt3\right^2 \\ & = \dfrac43-\dfrac{4}{9}3 = 0 \end{aligned}$ Persamaan garis singgung kurva yang melalui titik $x_1, y_1 = \left\dfrac{\pi}{3}, -\sqrt3\right$ dan bergradien $m = 0$ adalah $\begin{aligned} y & = mx-x_1+y_1 \\ y & = 0\leftx-\dfrac{\pi}{6}\right + -\sqrt3 \\ y & = -\sqrt3 \end{aligned}$ [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit Soal Nomor 6 Tentukan persamaan garis normal pada kurva fungsi trigonometri di bawah ini di titik yang diberikan. $h\theta = \theta + \sin \theta$ di titik yang berordinat $0.$ $fx = x \cos x$ di titik yang berabsis $x = \dfrac{\pi}{3}.$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $h\theta = \theta + \sin \theta.$ Untuk $y = 0$, diperoleh $0 = \theta + \sin \theta$ sehingga haruslah $\theta = 0.$ Titik singgung di $0, 0.$ Turunan pertama fungsi $f\theta= \theta + \sin \theta$ adalah $f'\theta = 1 + \cos \theta.$ Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $\theta = 0,$ yaitu $m = f'0 = 1 + \cos 0 = 2.$ Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung dan melalui titik singgungnya. Untuk itu, kita peroleh gradien garis normalnya $m_n = -\dfrac{1}{m} = -\dfrac12.$ Persamaan garis normal kurva yang melalui titik $x_1, y_1 = 0, 0$ dan bergradien $m_n = -\dfrac12$ adalah $\begin{aligned} y & = m_nx-x_1+y_1 \\ y & = -\dfrac12x-0 + 0 \\ y & = -\dfrac12x. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $\boxed{y = -\dfrac12x}$ Jawaban b Diketahui $fx = x \cos x.$ Untuk $x = \dfrac{\pi}{3},$ diperoleh $\begin{aligned} f\left\dfrac{\pi}{3}\right & = \dfrac{\pi}{3} \cos \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac12 \\ & = \dfrac{\pi}{6} \end{aligned}$ Titik singgung di $\left\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right.$ Turunan pertama fungsi $fx = x \cos x$ adalah $f'x = \cos x-x \sin x.$ Gradien garis singgungnya adalah nilai fungsi $f’$ saat $x= \dfrac{\pi}{3}$, yaitu $\begin{aligned} m & = f’\left\dfrac{\pi}{3}\right \\ & = \cos \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3} \sin \dfrac{\pi}{3} \\ & = \dfrac12-\dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ & = \dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{6}\pi \\ & = \dfrac{3-\sqrt3\pi}{6}. \end{aligned}$ Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung dan melalui titik singgungnya. Untuk itu, kita peroleh gradien garis normalnya, yakni $m_n = -\dfrac{1}{m} = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}.$ Persamaan garis normal kurva yang melalui titik $x_1, y_1 = \left\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{6}\right$ dan bergradien $m_n = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}$ adalah $\begin{aligned} y & = m_nx-x_1+y_1 \\ y & = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}\leftx-\dfrac{\pi}{3}\right + \dfrac{\pi}{6}. \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis normalnya dinyatakan oleh $\boxed{y = \dfrac{6}{\sqrt3\pi-3}\leftx-\dfrac{\pi}{3}\right + \dfrac{\pi}{6}}$ [collapse]

persamaan garis singgung fungsi trigonometri